Hai sobat bangkusekolah.com, pada kesempatan kali ini kami akan mempelajari pembuktian identitas dalam trigonometri. Sebelum sobat mempelajari membuktikan identitas trigonometri, maka terlebih dahulu sobat harus paham dengan trigonometri dasar yaitu sinus yang disebut “sin”, cosinus yang disebut “cos”, tangen yang disebut “tan”, cosecan yang disebut “csc”, secan yang disebut “sec”, dan cotangen yang disebut “cot”. Selanjutnya sobat, simak gambar berikut ini.


01
segitiga siku-siku

Nah pada gambar segitiga siku-siku ABC di atas maka akan diperoleh pada ketentuan dasar trigonometri yaitu :

  • Sin α = sisi depan/sisi miring = a/b
  • Cos α = sisi samping/sisi miring = c/b
  • Tan α = sisi depan/sisi samping = a/c
  • Csc α = sisi miring/sisi depan = b/a
  • Sec α = sisi miring/sisi samping = b/c
  • Cot α = sisi miring/sisi depan = c/a

Tidak hanya itu sobat, tan α, csc α, sec α, dan cot α juga dapat dibentuk dengan cara lain :

  • Tan α = a/c
  • Tan α = (a/b)/(c/b)
Jadi rumus Tan α = sin α/cos α
  • Csc α = b/a
  • Csc α = 1/(a/b)
Jadi rumus Csc α = 1/sin α
  • Sec α = b/c
  • Sec α = 1/(c/b)
Jadi rumus Sec α = 1/cos α
  • Cot α = c/a
  • Cot α = 1/( a/c)
Jadi rumus Cot α = 1/tan α

Nah Sekarang sobat buktikan bahwa sin2 α + cos2 α = 1 dengan menggunakan teorema pythagoras sebagai berikut :
b2 = a2 + c2

  • (a/sin α)2 = (b.sin α)2 + (b.cos α)2
  • a2/sin2 α = b2.sin2 α + b2.cos2 α
  • a2/sin2 α = b2(sin2 α + cos2 α)
  • a2/ b2sin2 α = sin2 α + cos2 α
  • a2/a2 = sin2 α + cos2 α
1 = sin2 α + cos2 α (terbukti)

Sobat dengan menggunakan persamaan trigonometri dasar tersebut maka persamaan identitas trigonometri sin2 α + cos2 α = 1 dapat sobat buktikan sebagai berikut :

sin2 α + cos2 α = (a/b)2 + (c/b)2
= a2/b2 + c2/b2
= (a2 + c2)/b2
= b2/b2

sin2 α + cos2 α = 1 (terbukti)

Jadi dengan uraian diatas terbukti bahwa sin2 α + cos2 α = 1.

Sobat, dari persamaan identitas trigonometri sin2 α + cos2 α = 1 dapat pula dibentuk identitas lain yaitu sebagai berikut :

  1. Jika dibagi dengan sin2 α maka akan diperoleh :
    • sin2 α + cos2 α = 1
    • sin2 α/sin2 α + cos2 α/sin2 α = 1/sin2 α
    • 1 + cot2 α = csc2 α
    csc2 α – cot2 α = 1
  2. Jika dibagi dengan cos2 α maka akan diperoleh :
    • sin2 α + cos2 α = 1
    • sin2 α/cos2 α + cos2 α/cos2 α = 1/cos2 α
    • tan2 α + 1 = sec2 α
    sec2 α – tan2 α = 1

Perhatikan gambar dibawah ini.


02
Identitas Trigonometri

Keterangan gambar diatas :

  1. Identitas pada kotak warna merah dikatakan sebagai identitas kebalikan pada trigonometri.
  2. Identitas pada kotak berwarna biru dikatakan sebagai identitas Pythagoras pada trigonometri.
  3. Identitas terakhir, tan α dan cot α pada kotak warna cokelat dikatakan sebagai identitas rasio pada trigonomerti.

Sekian dulu sobat bangkusekolah.com untuk kesempatan kali ini, jangan lupa untuk terus belajar dan jika ada yang belum faham siilahkan tanyakan ke bangku.sekolah.com semoga hari-hari sobat menyenangkan dan sukses selalu. Mohon maaf jika ada kesalahan dalam penulisan dan perhitungan maklum karena manusia tidaklah luput dari kesalahan dan terimakasih atas kunjungan sobat sekalian.