Deret dan Barisan Aritmatika (suku ke-n)

Deret dan Barisan Aritmatika (suku ke-n)

Salam sobat bangkusekolah.com, bagaimanakah kabar kalian semoga kita selalu dibawah lindungan Allah SWT. Pada materi kali ini akan membahas tentang Cara mencari suku ke-n dari barisan aritmatika maka harus dipahami secara konsep karena materi ini akan dijumpai lagi pada tingkat sekolah selanjutnya.

 

Deret dan Barisan Aritmatika (suku ke-n)

Dalam barisan aritmatika sobat akan mengenal tingkatan-tingkatan barisan aritmatika. Mulai dari barisan aritmatika tingkat ke-1, tingkat ke-2, tingkat ke-3, dan seterusnya. Dalam hal ini bangkusekolah.com hanya membahas sampai barisan aritmatika dari tingkat ke-1 sampai tingkat ke-3. Rumus secara umum suku ke-n dari barisan artimatika:

Tingkat ke-1 => Un = an + b

Tingkat ke-2 => Un = an² + bn + c

Tingkat ke-3 => Un = an³ + bn² + cn + d

 

Barisan Aritmatika Tingkat Ke-1

Diberikan suatu contoh barisan aritmatika tingkat ke-1 yaitu sebagai berikut.

1. 2, 4, 6, 8, 10, . . .
2. 3, 6, 9, 12, 15, . . .

contoh tersebut dikatakan sebagai barisan aritmatika tingkat ke-1, Karena selisih dua suku yang dekat memiliki nilai sama berada pada tingkat pertama yang didebut dengan “beda”. Perhatikan gambar berikut ini.

Untuk mengetahui rumus ke-n dari barisan aritmatika tingkat ke-1, silahkan perhatikan uraian berikut ini. Sobat seblumnya sudah diketahui bahwa rumus umum untuk mencari suku ke-n dari barisan aritmatika tingkat ke-1 yaitu:

Un = an + b

maka:

U₍₁₎ = a + b

U₍₂₎ = 2a + b

U₍₃₎ = 3a + b

U₍₄₎ = 4a + b

Jika sobat buat dalam barisan aritmatika maka akan tampak seperti berikut.

Dari gambar di atas terlihat bahwa selisih antara U₂ dengan U₁, U₃ dengan U₂, dan U₄ dengan U₃ adalah a atau beda.

 

Contoh Soal

Tentukan rumus suku ke-n dari barisan aritmatika 6, 9, 12, 15, 18, ……

Penyelesaian:

 

Dari gambar di atas maka:

Beda / a = 3

Diperoleh:

a + b = 6

3 + b = 6

b = 3

sehingga disubtitusikan a dan b ke rumus berikut;

U(n) = an + b

U(n) = 3n + 3

Jadi, rumus suku ke-n dari barisan aritmatika 6, 9, 12, 15, 18, …… adalah “Un = 3n + 3”

 

Barisan Aritmatika Tingkat Ke-2

Diberikan suatu contoh barisan aritmatika tingkat kedua sebagai berikut.

1. 1, 3, 7, 13, 21, . . .
2. 5, 6, 10, 17, 27, . . .
3. 4, 6, 13, 25, 42, . . .

Contoh tersebut dikatakan sebagai barisan aritmatika tingkat ke-2, karena Selisih dua suku yang berdekatan yang bernilai sama berada pada tingkatan yang kedua. Perhatikan gambar di bawah ini.

Untuk mencari suku ke-n dari barisan aritmatika tingkat 2, silahkan perhatikan uraian berikut ini.

U(n) = an² + bn + c

U(1) = a(1)² + b(1) + c = a + b + c

U(2) = a(2)² + b(2) + c = 4a + 2b + c

U(3) = a(3)² + b(3) + c = 9a + 3b + c

U(4) = a(4)² + b(4) + c = 16a + 4b + c

 

Jika dibuat dalam bentuk barisan aritmatika maka akan tampak seperti berikut.

Dengan menggunakan barisan bertingkat maka barisan aritmatika 1, 3, 7, 13, 21, . . . akan diperoleh seperti berikut

Maka:

a + b + c = 1

3a + b = 2

2a = 2

Dengan metode substitusi diatas maka diperoleh:

Nilai a = 1, b = – 1  dan c = 1 maka

Un = an² + bn + c

Un = 1n² + (– 1)n + 1

Un = n² – n + 1

Jadi rumus untuk menentukan nilai a, b, dan c pada barisan aritmatika tingkat 2 yaitu:

a + b + c = U1

3a + b = U_t1

2a = U_t2

 

Contoh Soal

Tentukan rumus suku ke-n dari barisan aritmatika 4, 6, 13, 25, 42, . . .

Penyelsaian:

2a = 5

• a = 5/2

 

3a + b = 2

• 3(5/2) + b = 2
• 15/2 + b = 2
• b = 4/2 – 15/2
• b = – 11/2

 

a + b + c = 4

• 5/2 – 11/2 + c = 8/2
• c = 8/2 – 5/2 + 11/2
• c = 14/2

maka diperoleh a = 5/2, b = -11/2, c = 14/2

Un = an² + bn + c

Un = (5/2)n² – (11/2)n + 14/2

Un = ½ (5n² – 11n + 14)

 

Barisan Aritmatika Tingkat Ke-3

Diberikan suatu contoh barisan aritmatika tingkat 3 sebagai berikut.

1. 1, 3, 7, 15, 29, . . .
2. 1, 2, 4, 10, 23, . . .

Contoh tersebut dikatakan sebagai barisan aritmatika tingkat ke-2, karena Selisih dua suku yang berdekatan memiliki nilai sama berada pada tingkatan yang ketiga. Perhatikan gambar di bawah ini.

Dengan cara yang sama seperti cara mencari rumus suku ke-n aritmatika tingkat kedua, maka akan diperoleh rumus untuk mencari a, b, c dan d yaitu:

a + b + c + d = U1

7a + 3b + c = U_t1

12a + 2b = U_t2

6a = U_t3

 

Contoh Soal 3

Tentukan rumus suku ke-n dari barisan aritmatika 1, 3, 7, 15, 29, . . .

Penyelesaian:

6a = 2

• a = 1/3

 

12a + 2b = 2

• 4 + b = 2
• b = – 2

 

7a + 3b + c = 2

• 7/3 – 6 + c = 2
• c = 6/3 + 18/3 – 7/3
• c = 17/3

 

a + b + c + d = 1

• 1/3 – 2 + 17/3 + d = 1
• d = 3/3 – 1/3 + 6/3 – 17/3
• d = – 9/3 = – 3

 

Un = (1/3)n³ – 2n² + (17/3)n – 3

Un = (1/3)(n³ – 6n² + 17n – 9)

 

Demikianlah pembahasan kali ini semoga bermanfaat bagi sobat bangkusekolah.com tentang Deret dan Barisan Aritmatika (suku ke-n). Mohon maaf sebesar-besarnya jika ada kata-kata atau perhitungan yang keliru dalam postingan ini.